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数学教案提公因式法

时间:2024-05-30 11:59:10
数学教案提公因式法

数学教案提公因式法

作为一名无私奉献的老师,通常需要用到教案来辅助教学,教案有助于顺利而有效地开展教学活动。如何把教案做到重点突出呢?以下是小编精心整理的数学教案提公因式法,欢迎大家分享。

数学教案提公因式法1

教学目标

1.使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系.

2.使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.

3.通过学生自行探求解题途径,培养学生观察、分析和创新能力,深化学生逆向思维能力.

教学重点及难点

教学重点:

因式分解的概念及提公因式法.

教学难点:

正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系.

教学过程

一、复习提问

乘法对加法的分配律.

二、新课

1.新课引入:用类比的方法引入课题.

在学习分数时,我们常常要进行约分与通分,因此常常要把一个数分解因数(即分解约数).例如,把15分解成3×5,把42分解成2×3×7.

在第七章我们学习了整式的乘法,几个整式相乘可以化成一个多项式,那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢?这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法.

2.因式分解的概念:

请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子,并计算出其结果.(老师按学生所说在黑板写出几个.)

如:m(a+b+c)=ma+mb+mc

2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy

(a+b)(a-b)=a2-b2

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

(x-5)(2-x)=-x2+7x-10 等等.

再请学生观察它们有什么共同的特点?

特点:左边,整式×整式;右边,是多项式.

可见,整式乘以整式结果是多项式,而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积,我们就把这种多项式的变形叫做因式分解.

定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.

如:因式分解:ma+mb+mc=m(a+b+c).

整式乘法:m(a+b+c)=ma+mb+mc.

让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别.

联系:同样是由几个相同的整式组成的等式.

区别:这几个相同的整式所在的位置不同,上式是因式分解;下式是整式乘法.两者是方向相反的恒等变形,二者是一个式子的不同表现形式,一个是多项式的表现形式,一个是两个或几个因式积的表现形式.

例1 下列各式从左到右哪些是因式分解?(投影)

(1)x2-x=x(x-1) (√)

(2)a(a-b)=a2-ab (×)

(3)(a+3)(a-3)=a2-9 (×)

(4)a2-2a+1=a(a-2)+1 (×)

(5)x2-4x+4=(x-2)2 (√)

下面我们学习几种常见的因式分解方法.

3.提公因式法:

我们看多项式:ma+mb+mc

请学生指出它的特点:各项都含有一个公共的因式m,这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式.

注意:公因式是各项都含有的公共的因式.

又如:a是多项式a2-a各项的公因式.

ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式.

2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式.

根据乘法的分配律,可得

m(a+b+c)=ma+mb+mc,

逆变形,便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式

ma+mb+mc=m(a+b+c).

这说明,多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面,将多项式 ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.

定义:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多 项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.

显然,由定义可知,提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式.让学生观察上面的公因式的特点,找出确定公因式的万法:(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数:(2)字母取各项的相同字母,而且各字母的指数取次数例2 指出下列各多项式中各项的公因式:

(1)ax+ay+a (a)

(2)3mx-6mx2 (3mx)

(3)4a2+10ah (2a)

(4)x2y+xy2 (xy)

(5)12xyz-9x2y2 (3xy)

例3 把8a3b2-12ab3c分解因式.

分析:分两步:第一步,找出公因式;第二步,提公因式.

先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2.

解:8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc).

说明:

(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取.

(2)开始讲提公因式法时,最好把公因式单独写出.①以显提醒;③强调提公因式;③强调因式分解.

例4 把3x2-6xy+x 分解因式.

分析:先引导学生找出公因式x,强调多项式中x=x·1.

解:3x2-6xy+x

=x·3x-x·6y+x·1

=x(3x-6y+1).

说明:当多项式的某一项恰好是公因式时,这项应看成它与1的乘积,提公因式后剩下的应是1,1作为项的系数通常可以省略,但如果单独成一项时,它在因式分解时不能漏掉,这类题常常有些学生犯下面的错误,3x2-6xy+x=x(3x-6y),这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因.还应提醒学生注意:提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样,这样可以检查是否漏项.

课堂练习:(投影)

把下列各式分解因式:

(l)2πR+2πr;

(2)

(3)3x3+6x2;

(4)21a2+7a;

(5)15a2+25ab2;

(6)x2y+xy2-xy.

例5 把-4m3+16m2-26m分解因式.

分析:此多项式第一项的系数是负数,与前面两例不同,应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了,所以应先提负号转化,然后再提公因式,提"-"号时,注意添括号法则.

解:-4m3+16m2-26m

=-(4m3-16m2+26m)

=-2m(2m2-8m+13).

说明:通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时,应先观察第一项系数的正负,负号时,运用添括号法则提出负号,此时一定要把每一项都变号;然后再提公因式.

课堂练习:(投影)

把下列各式分解因式:

(1)-15ax-20a;

(2)-25x8+125x16;

(3)-a3b2+a2b3;

(4)-x3y3-x2y2-xy;

(5)-3ma3+6ma2-12ma;

(6)

三、小结

1.因式分解的意义及其概念.

2.因式分解与整式乘法的联系与区别.

3.公因式及提公因式法.

4.提公因式法因式分解中应注意的问题.

四、作业

教材 P.10中 1、2、3、4.

五、板书设计

数学教案提公因式法2

教学目标:

1、知识目标:

(1)使学生理解轴对称的概念;

(2)了解轴对称的性质及其应用;

(3)知道轴对称图形与轴对称的区别.

2、能力目标:

(1)通过轴对称和轴对称图形的学习,提高学生的观察辨析图形的能力和画图能力;

(2)通过实际问题的练习,提高学生解决实际问题的能力.

3、情感目标:

(1)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;

(2)通过轴对称图形的学习,体现数学中的美,感受数学中的美.

教学重点:轴对称和轴对称图形的概念,轴对称的性质及判定

教学难点:区分轴对称和轴对称图形的概念

教学用具:直尺,微机

教学方法:观察实验

教学过程

1、概念:(阅读教材,回答问题)

(1)对称轴

(2)轴对称

(3)轴对称图形

学生动手实验,说明上述概念.最后总结轴对称及轴对称图形这两个概念的区别:

轴对称涉及两个图形,是两个图形的位置关系.轴对称图形只是针对一个图形而言.

轴对称和轴对称图形都有对称轴,如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形;如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线对称.

2、定理的获得

(投影):观察轴对称的两个图形是否为全等形

定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形

由此得出:

定理2:如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.

启发学生,写出此定理的逆命题,并判断是否为真命题?由此得到:

逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.

学生继续观察得到

定理3:两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上.

说明:上述定理2可以看成是轴对称图形的性质定理,逆定理则是判定定理.

上述问题的.获得,都是由定理1引发、变换、延伸得到的.教师应充分抓住这次机会,培养学生变式问题的研究.

2、常见的轴对称图形

图形

对称轴

点A

过点A的任意直线

直线m

直线m,m的垂线

线段AB

直线AB,线段AB的中垂线

角平分线所在的直线

等腰三角形

底边上的中线

3、应用

例1如图,已知:△ABC,直线MN,求作△A 1 B 1 C 1,使△A 1 B 1 C 1与△ABC关于MN对称.

分析:按照轴对称的概念,只要分别过A、B、C向直线MN作垂线,并将垂线段延长一倍即可得到点A、B、C关于直线MN的对称点,连结所得到的这三个点.

作法:(1)作AD⊥MN于D,延长AD至A 1使A 1 D=AD,

得点A的对称点A 1

(2)同法作点B、C关于MN的对称点B 1 、 、C 1

(3)顺次连结A 1 、B 1 、C 1

∴△A 1 B 1 C 1即为所求

例2如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC、BD,

且AC=BD,若A到河岸CD的中点的距离为500cm.问:

(1)牧童从A处牧牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走路程最短?

(2)最短路程是多少?

解:问题可转化为已知直线CD和CD同侧两点A、B,

在CD上作一点M,使AM+BM最小,

先作点A关于CD的对称点A 1,

再连结A 1 B,交CD于点M,

则点M为所求的点.

证明:(1)在CD上任取一点M 1,连结A 1 M 1 、A M 1

B M 1 、AM

∵直线CD是A、A 1的对称轴,M、M 1在CD上

∴AM=A 1 M,AM 1=A 1 M 1

∴AM+BM=AM 1 +BM=A 1 B

在△A 1 M 1 B中

∵A 1 M 1 +BM 1>AM+BN即AM+BM最小

(2)由(1)可得AM=AM 1,A 1 C=AC=BD

∴△A 1 CM≌△BDM

∴A 1 M=BM,CM=DM

即M为CD中点,且A 1 B=2AM

∵AM=500m

∴最简路程A 1 B=AM+BM=2AM=1000m

例3已知:如图,△ABC是等边三角形,延长BC至D,延长BA到E,使AE=BD,连结CE、DE

求证:CE=DE

证明:延长BD至F,使DF=BC,连结EF

∵AE=BD,△ABC为等边三角形

∴BF=BE,∠B=

∴△BEF为等边三角形

∴△BEC≌△FED

∴CE=DE

5、课堂小结:

(1)轴对称和轴对称图形的区别和联系

区别:轴对称是说两个图形的位置关系,轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形;轴对称涉及两个图形,轴对称图形只对一个图形而言

联系:这两个定义中都涉及一条直线,都沿其折叠而能够重合;二者都具有相对性:即若把轴对称图形沿轴一分为二,则这两个图形就关于原轴成轴对称,反之,把两个成轴对称的图形全二为一,则它就是一个轴对称图形.

(2)解题方法:一是如何画关于某条直线的对称图形(找对称点)

二是关于实际应用问题“求最短路程”.

6、布置作业:

书面作业P120#6、8、9

板书设计

探究活动

两个全等的三角板,可以拼出各种不同的图形,如图已画出其中一个三角形,请你分别补出另一个与其全等的三角形,使每个图形分成不同的轴对称图形(所画三角形可与原三角形有重叠部分)

解:

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